Par Nicolas Fressengeas, Professeur au Laboratoire Matériaux Optiques, Photonique et Systèmes

Les opérateurs vectoriels connus sous les noms de gradient, divergence et rotationnel sont une particularisation en dimension 3 de la divergence généralisée en dimension quelconque, élément de la théorie des tenseurs. Il est toutefois possible d'appréhender physiquement et de manière intuitive les 3 opérateurs vectoriels précités. A cette fin, vous sont présentés ci-dessous des exemples de champs et leur image par l'opérateur considéré.

A noter, cependant, que ces opérateurs ne sont définis que sur des espaces réels à trois dimensions. Les exemples illustrant le gradient et la divergence sont toutefois, par soucis de clarté, des images bidimensionnelles. Gardez donc bien à l'esprit que ces images sont des coupes planes de l'espace en z=0.

Le gradient

Appliqué à sin(x)
Appliqué à sin(x*y)

La divergence

Appliqué à (sin(x),0,0)
Appliqué à (sin(x),sin(y),0)

Le rotationnel

Appliqué à un champ radial
Appliqué à un premier champ tourbillon
Appliqué à un deuxième champ tourbillon